В середине мая 2015 математик с Перу, в данное время трудится в Франции, Харальд Хельфготт изложил в архив препринтов Корнельського института статью «Большие дуги для аксиомы Гольдбаха». Эта статья объемом 133 странички содержит финальную часть доведения начатого на заре XX век математиком Иваном Виноградовым) так именуемой тернарнои проблемы Гольдбаха – одной из самых старенькых задач в теории чисел
Май 2015 стал довольно продуктивным месяцем для теории количеств точнее, аналитической теории чисел): практически за одну неделю стало ведомо о прогрессе в двух сложнейших проблемах, коие относятся к так называемым аддитивних задач. В случае если грубо, то это целый класс задач, коие имеют дело с представлением одних количеств в виде суммы других, причем эти иные берутся из какого-нибудь особого класса. Соответственно, большинство задач сводится к что, существуют ли указанные изображения и в случае если так, то сколько их. Ответ на конечный вопрос, конечно, дается не четкая, а в виде какой-нибудь приблизительной оценки. К задачкам этого класса принадлежат, например, задачка Лежандра об изображении целого количества в виде суммы четверых квадратов естественных чисел, задача об изображении естественного числа в виде суммы пяти квадратов простихчисел.
Одной из данных задач была и так называемая задачка о простые номера-близнецы. О ней мы тщательно уже писали. Если коротко, то сущность этой проблемы такая: надо довести, собственно что количество простых чисел p, q, таких, собственно что p-q = 2, бесконечная. В смысле адитивних задач тут решается вопрос о бесконечности количества изображений двойки в облике различия двух простых. Самую задачку пока решить не прибегло, впрочем американский математик итан Чжан устроил важный шаг: он довел, собственно что существует такое целое N, что огромное количество пар простых чисел p, q с условием p-q = N долгая. Это стало существенным шагом вперед, потому что раньше не было известно, долгая ли множество таких пар но бы для какого-нибудь N.
Иной же задачей, которую, в отличие от количеств-близнецов, прибегло решить полностью, стала например называемая тернарна задача Гольдбаха.
Статьи на полях
В 1725 году германский математик и юрист Кристиан Гольдбах переехал в Российскую Федерацию, чтобы стать постоянным членом Петербургской академии наук. Дела в математика достаточно быстро пошли в гору, и его приблизили к двору – спустя несколько лет он был собственным репетитором юного Петра II. В 1742 году Гольдбах ему было 52 года) решает окончить карьеру ученого и занимает должность бюрократа в Коллегии иностранных дел. 7 июня сего же, судьбоносного для Гольдбаха года математик сообщает письма Леонарду Ейлеру, который на что момент проживал в Прусии. С Ейлером Гольдбах познакомился во время собственного образовательного турне по Европе в последствии окончания университета и из тех пор поддерживал дружественные отношения
В конце письма, уже на полях, Гольдбах сообщает такую гипотезу: «Произвольное целое количество больше двух можно представить как печали 3-х простых» немецкий математик, в отличие от представлений прогрессивной теории чисел, считал единицу кроме того простым числом). В соответствующем письме Ейлер припоминает Гольдбаху, что раньше в личной разговору тот высказывал похожую гипотезу: мол, любые два парных целых количества можно изобразить в виде суммы 2-ух простых. При этом Ейлер был не сомневается, что «это несомненно верная теорема», хотя говорил, что он ее «довести не в состоянии». Например на мир появилась гипотеза Гольдбаха, вернее даже две гипотезы сразу.
1-ая получила название тернарнои или слабенькой) гипотезы Гольдбаха. Она утверждает, собственно что произвольное целое число больше 5 зображається в виде суммы трех не непременно попарно разных) простых чисел. В собственную очередь бинарная или сильная) догадка Гольдбаха утверждает, что всякое целое парное количество больше двух зображається в виде суммы 2-ух не обязательно разных) простых количеств. Эту гипотезу называют сильной потому, что слабая из нее вытекает: прибавляя ко всем парных количествах тройку, мы можем получить все вероятные непарные числа больше пъяти.
Дуги немалые и малые
К началу XX столетие гипотезы Гольдбаха, вблизи с гипотезой Римана, стали одними из центральных задач доктрине чисел, войдя даже в состав известной 8-и проблемы Гильберта.
Прорыв в решении данной задачи был осуществлен британскими математиками Гарольдом Харди и Джоном Литтлвуд. За это время они изучали задачу Варинга о ней шло повыше). Развивая идеи самого Харди и Сириваса Рамануджана, заложенные в ботах 1916-1917 лет, британские математики сделали так называемый круговой метод. Его сущность состоит в следующем: решение задаче к примеру, количество образов изобразить целое количество в виде суммы трех простых) задается интегралом по одиночному колу от некоторого ряда. Данный интеграл разбивается на два, раз из которых оценивается, а о другом приходится его условная малость. Составные первой суммы именуются большими дугами, а второй – малыми
В случае если читатель споткнулся на этом пространстве, то вот как этот способ объяснил сам Харальд Хельфготт: «Анализ числа решений проводится, в сущности, с помощью переустройства Фурье. Представьте себе, что обычные числа – это звуки продолжительностью, скажем, 2, 3, 5, 7, 11 и например далее микросекунд. После преобразования у вас выходит собственного рода шум, в котором вы постараетесь услышать какие-то ноты. Между них есть такие, которые слышать достаточно хорошо, – это и есть немалые дуги. А есть частоты, которые просто считаются шумовыми фрагментами, – это небольшие дуги. Весь метод распадается на 2 части – выделение нот и довод такого как, что сдачу на самом деле грохот. За первую часть метода отвечают оценки на немалые дуги, за второй – на малые».
Используя собственный метод, Харди и Литтлвуд сумели довести тернарну догадку Гольдбаха. Однако в их доводы булп 1, но крайне существенный недостаток, кот-ый, в сущности, перечеркивала всю работу: в заметке они опирались на недоказанную обобщенную догадку Римана. Если коротко, то это кое-какое утверждение о решении одного уравнения – в догадке говорится, что все эти заключения лежат на одной прямой на плоскости. Это утверждения так сложное, что оно не подтверждено до сих пор, и его облегченный вариант известное просто как догадка Римана) входит в список задач Тысячелетия ВУЗа Клея, за решения каждой из коих выплачивается по миллиону долларов. Гильберт в том числе и шутил, что если бы он уснул и проснулся через 500 лет, то первым делом задал вопрос бы, доказанная ли гипотеза Римана.
Способ Харди и Литтвуда был усовершенствован русским математиком Иваном Виноградовым, который распространил его на, например называемые, тригонометрические суммы. Благодаря данному в 1937 году Виноградов без применения гипотезы Римана довел вот подобный факт: все непарные целые количества, начиная с некоторого N, можно изобразить в облике суммы трех простых. «Наверное, главным достижением Виноградова были оценки на небольшие дуги. На самом деле в радиальном методе это сложная часть, и оценки Виноградова на что момент были просто ошеломляющие – они были итогом крайне нетривиальных комбинаторных соображений. Для оценки же наибольших дуг он использовал методологию, довольно похожую на ту, которая была в Харди и Литтвуда », – Розповивхельфготт.
Подтверждено – не доказано
Прежде чем продолжить рассказ, создадим важное отступление. Из этого самого этапа то есть с 1937 года) русские математики считали тернарну проблему Гольдбаха решенной, в то время как забугорные математики с этим несогласные. Правые непосредственно зарубежные: несмотря на то собственно что Виноградов проделал уникальную работу, бесповоротно задачу не было решено. Во-первых, Виноградов не расценил число N. Когда же это было создано его учеником Константином Бороздиним, оказалось, собственно что граница N в работе Виноградова представляет количество порядка 106846168. Даже сейчас численная ревизия на компьютерах всех «сдачу» случаев в работе Виноградова не видется возможной. А значит и это во-вторых), между этих чисел может прятаться контрприклад к утверждению тернарнои догадки Гольдбаха. И пусть у существования такого контрприкладу никто не веровал, задача не могла полагать развязанной
Страницы: 1 2
Вы находитесь: События > Новости > Развязано одну из самых старых и сложнейших математических задач
